مطالعاتی پیرامون عملگرهای دیفرانسیل بیضوی و اندیس توپولوژیکی و آنالیزی آنها

مسأل? اندیس برای عملگرهای بیضوی در سال ‎1959 (1960)‎، بوسیل? گلفند‎‎ ‎طرح شده بود. او این مسأل? کلی را مطرح کرد که اندیس آنالیزیِ یک عملگر دیفرانسیل بیضوی، چگونه با داده های توپولوژیک مسأله ارتباط دارد؟‎‎ در فصل چهار این پایان نامه می بینیم که اندیس آنالیزی، برای عملگرهای فردهولم قابل تعریف است. در سال ‎1960‎ یک ریاضیدان روسی به نام والتر‎‎ ‎ فهمید که برای عملگرهای بیضوی نیز می توان اندیس آنالیزی را محاسبه کرد. به طور صریحتر، اگر ‎$e$‎ و ‎$f$‎ دو کلاف برداری مختلط روی یک خمین? جهتدار و فشرده و هموار ‎$m$‎ باشند و ‎$$d:gamma(e) longrightarrow gamma(f)$$‎ یک عملگر دیفرانسیل بیضوی باشد، آنگاه می توان اثبات کرد که بُعد ‎$ker(d)$‎ و ‎$ker(d^ast)$‎ متناهی است ولذا می توانیم اندیس فردهولم ‎(آنالیزی)‎ را برای آن تعریف کنیم. با این داده ها مسأل? گلفند اینگونه مطرح می شود‎:‎ آیا اندیس آنالیزی را برحسب ناورداهای توپولوژیکی مربوط به ‎$m$‎ و ‎$e$‎ و ‎$f$‎ و ‎$d$‎ می توان نوشت؟‎ قضی? آتیا و سینگر به این سوال پاسخ صریح و روشنی می دهد. آتیا و سینگر اندیس توپولوژیکی را به صورت ‎$$gamma(d)={ch(d).td(m)}[m]$$‎ تعریف کردند و نشان دادند که با اندیس آنالیزی برابر است. ‎$ch(d)$‎، مشخص? چرن و ‎$td(m)$‎ کلاس تاد خمین? ‎$m$‎ است. ما در این پایان نامه سعی کردیم تا به شناسایی کلاسهای مشخصه، در فصل پنج بپردازیم که قسمت عمد? این پایان نامه را تشکیل می دهد ولی در راستای رسیدن به تعریفی از کلاسهای مشخصه، به مقدماتی نیاز داشتیم که برخی از آنها را در زیر نام می بریم‎:‎ ابتدا آشنایی با فرمهای دیفرانسیلی و کوهومولوژی دورام که در فصل یک به آن پرداخته شده است، بَعد از آن، هموستار وچند جمله ایهای ناوردا را معرفی می کنیم و سپس مفاهیمی در نظری? ‎$k$‎، که مهمترین آن بررسی قضی? ‎«‎ سر-سوآن ‎»‎ می باشد، و در فصل دوم به آن اشاره شده است. همچنین در این فصل به تعریف عنصری تفاضلی می پردازیم که در فرمول بندی اندیس فوق نقش موثری دارد. از جمله عوامل دیگری که در تشکیل این اندیس نقش مهم و تعیین کننده ای دارد قضی? یکریختی تام است که در فصل سوم تا حد نیاز مورد بررسی قرار گرفته است. و در آخر در فصل ششم به بیان قضی? اندیس آتیا-سینگر می پردازیم‎.‎ قضی? اندیس آتیا-سینگر دربردارند? تعدادی قضی? مهم مانند قضی? ریمان-رخ و تعمیم آن یعنی قضی? هیرزبرخ-ریمان-رخ‎ ‎و قضی? نشانِ هیرزبرخ می باشد، که متأسفانه فرصت پرداختن به این قضایا و نیز ارائ? یک برهان برای قضی? اندیس در این پایان نامه بدست نیامد. اوّلین نشانه های ظهور این قضی? تاریخی در سال ‎1963‎ بود اگر چه طرح برهان درآن زمان توسط آنها منتشر نشد ولی در کتاب پَلیس‎‎ ‎سال ‎1965‎ اثبات کامل ارائه شد. برهان اولّی? آتیا و سینگر از این قضیّه به کمک نظریّ? کوبوردیسم‎ توم در توپولوژی بود. و در برهان منتشر شد? آنها در سال ‎1968‎ نظریّ? ‎k‎ جای نظریّ? کوبوردیسم را گرفت. آتیا، بات، پَتُدی‎‎ ‎ در سال ‎1973‎ یک برهان جدید از قضیّ? اندیس با استفاده ازمعادل? گرما ارائه دادند که تکی? بیشتری بر آنالیز و نظریّ? طیفی عملگرهای خودالحاق دارد. ریاضیدانان دیگری نیز اثباتهای دیگری ارائه دادند یا اثباتهای اوّلی? آتیا و سینگر را ساده تر کردند که از آن جمله می توان به برهانی در نظریّ? ‎k‎ از هیگسن‎‎ ‎اشاره کرد.